A estimação intervalar é uma técnica da estatística inferencial usada para estimar um parâmetro populacional, como uma média ou proporção, com um intervalo de valores em vez de apenas um ponto específico. O intervalo é construído de forma a incluir o parâmetro verdadeiro da população com uma determinada probabilidade, chamada de nível de confiança.
Conceitos Básicos:
Intervalo de Confiança (IC): É o intervalo de valores no qual acreditamos que o parâmetro populacional verdadeiro se encontra. Ele é construído usando a média da amostra e uma margem de erro, baseada na variabilidade dos dados e no tamanho da amostra.
Nível de Confiança: É a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha o parâmetro verdadeiro. Por exemplo, um intervalo de confiança de 95% significa que, se repetirmos o experimento várias vezes, cerca de 95% dos intervalos construídos conterão o valor real do parâmetro populacional.
Margem de Erro: Calculada com base no desvio padrão da amostra e no tamanho da amostra, é a quantidade que somamos e subtraímos da média amostral para definir o limite do intervalo.
Exemplo Básico:
Suponha que medimos a altura média de uma amostra de pessoas e encontramos uma média de 170 cm com um desvio padrão de 10 cm. Se usarmos um nível de confiança de 95%, podemos calcular um intervalo de confiança para estimar a média populacional com a fórmula do intervalo para uma média amostral.
A estimativa intervalar nos permite considerar a incerteza presente na amostra e obter uma estimativa mais confiável e prática do parâmetro populacional, sendo uma das ferramentas mais fundamentais na análise estatística.
Neste relatório, consideraremos as inferências estatísticas para a diferença de médias \(\mu_1-\mu_2\) de duas distribuições normais, em que as variâncias \(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\) são conhecidas
Suposições para Inferência com Duas Amostras.
\(X_{11},\, X_{12}\,,...,\,X_{1n}\) é uma amostra aleatória proveniente da população 1;
\(X_{21},\, X_{22}\,,...,\,X_{2n}\) é uma amostra aleatória proveniente da população 2;
As duas populações representadas por \(X_1\) e \(X_2\) são independentes;
Ambas as populações são normais.
O método da quantidade pivotal é uma técnica fundamental na inferência estatística, usada para construir intervalos de confiança. Ele explora uma estatística chamada de quantidade pivotal, que é uma função das variáveis amostrais e de um ou mais parâmetros desconhecidos e que possui uma distribuição conhecida. Isso torna o método extremamente útil para criar estimativas de intervalo, especialmente quando a distribuição exata dos estimadores é difícil de determinar.
Definição de uma Quantidade Pivotal
Uma quantidade pivotal, \(Q(X;\theta)\), é uma função de uma amostra \(X\) e do parâmetro \(\theta\), e sua distribuição é independente do valor de \(\theta\). Ou seja, se conhecemos a distribuíção de \(Q(X;\theta)\), podemos usá-la para fazer inferências sobre \(\theta\) sem depender do valor específico de \(\theta\).
Exemplo: Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida
Considerando uma amostra \(X_1,X_2,..., X_n\) extraída de uma distribuição normal \(N(\mu;\sigma^2)\) com variância \(\sigma^2\) conhecida, podemos definir a quantidade pivotal como:
\[Z\;=\;\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\]
onde \(\bar{X}\) é a média amostral e \(Z\;\sim\;N\,(0,1)\) pela padronização da variável normal.
A partir dessa quantidade pivotal, podemos estabelecer um intervalo de confiança para \(\mu\):
\[P\left(-\;z_{\frac{\alpha}{2}\;}\;\leq\;\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\;\leq\;z_{\frac{\alpha}{2}} \right)\;=\;1\;-\;\alpha\]
Reorganizando, obtemos:
\[P\left(\bar X-\;z_{\frac{\alpha}{2}\;}\frac{\sigma}{\sqrt n}\;\leq\;\mu\leq\;\bar X\;+\;z_{\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt n} \right)\;=\;1\;-\;\alpha\]
Esse é um intervalo de confiança \(1 - \alpha\), para o parêmetro \(\mu\), utilizando a quantidade pivotal \(Z\).
Vantagens do Método da Quantidade Pivotal
Generalizabilidade: O método é aplicável para diversos tipos de distribuições e amostras.
Construção de Intervalos de Confiança: Facilita a criação de intervalos de confiança precisos para diferentes parâmetros.
Independência do Parâmetro: Como a distribuição de uma quantidade pivotal não depende do parâmetro desconhecido, é mais fácil trabalhar com ela do que com estatísticas cuja distribuição varia com o parâmetro.
Desafios e Limitações
Para aplicar o método de quantidade pivotal, precisamos de pivôs cujas distribuições sejam conhecidas e independentes dos parâmetros. Em casos complexos, como amostras pequenas ou distribuições desconhecidas, a construção de quantidades pivots pode ser impraticável.
Suponha que um fabricante de medicamentos deseja comparar a eficácia de dois novos medicamentos, \(A\) e \(B\), para tratar uma mesma doença. A eficácia de cada medicamento é medida pela redução média na pressão arterial de pacientes após um mês de uso.
O fabricante conduziu um experimento em que aplicou o medicamento \(A\) em um grupo de 40 pacientes e o medicamento \(B\) em outro grupo independente de 35 pacientes. A eficácia de cada medicamento (ou seja, a redução média na pressão arterial) é suposta ser normalmente distribuída. A variância das reduções da pressão arterial é conhecida para cada grupo:
Para o medicamento \(A\), a variância é \(\sigma^2\;=\;20.\)
Para o medicamento \(B\), a variância é \(\sigma^2\;=\;25.\)
As médias amostrais das reduções na pressão arterial observadas foram:
Para o medicamento \(A\), \(\bar X_1\;=\;15.\)
Para o medicamento \(B\), \(\bar X_2\;=\;10.\)
O objetivo é construir um intervalo de confiança para a diferença nas médias populacionais de redução na pressão arterial dos medicamentos \(A\) e \(B\) com um nível de confiança de 95%.
SOLUÇÃO
Para determinar o intervalo de confiança para a diferença \(\mu_1-\mu_2\) entre as médias populacionais de eficácia dos medicamentos, usamos a fórmula para um intervalo de confiança com variâncias conhecidas:
\[(\bar X_1\,-\,\bar X_2)\;\pm\;z_{\frac{\alpha}{2}}\,\sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1}\,+\,\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\]
onde:
\(z_{\frac{\alpha}{2}}\) é o valor critico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado (para 95%, \(z_{\frac{\alpha}{2}}\approx\, 1,96\)).
\(n_1\;=\;40\) e \(n_2\;=\;35\) são os tamanhos das amostras para os medicamentos \(A\) e \(B\), respectivamente.
Diferença entre as médias:
\[\bar X_1\,-\,\bar X_2\;=\;15 - 10 = 5 \]
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico Z correspondente é aproximadamente 1,96 (que pode ser obtido de uma tabela de distribuição normal ou pela função qnorm no R).
\[\sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1}\,+\,\frac{\sigma_2^2}{n_2}} = \sqrt {\frac{20}{40}\,+\,\frac{25}{35}}\;=\;\sqrt{0,5\,+\,0,7143}\;\approx\;1,102\]
O intervalo de confiança para a diferença entre as médias populacionais \((\mu_1-\mu_2)\) é dado por:
\[(\bar X_1\,-\,\bar X_2)\,\pm\,Z\,\times Erro\;Padrão\]
\[IC\;=\;5\,\pm\,1,96\,\times\,1,102\]
\[IC\;=\;5\,\pm\,2,16\]
Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias populacionais de redução na pressão arterial dos medicamentos A e B é aproximadamente:
\[[2,84\,;\,7,16]\]
Com 95% de confiança, podemos afirmar que a diferença entre as médias populacionais de redução na pressão arterial para os medicamentos A e B está entre aproximadamente 2,84 e 7,16.
Considere duas máquinas que produzem peças, dos quais estamos avaliando a resistência à tensão dessas máquinas (MPa). Retirou-se uma amostra de 8 peças de cada máquina, e obtendo as seguintes resistências:
Máquina 1: \(\{ 161, 147, 162, 161, 154, 136, 142, 147\}\)
Máquina 1: \(\{ 140, 162, 147, 133, 130, 137, 137, 136\}\)
Considere que a resistência à tensão apresenta distribuição normal e que as variâncias populacionais são conhecidas para os dados obtidos pelas duas máquinas, porém iguais,encontre um estimador intervalar para a diferença das médias dos dois grupos, com um nível de confiança de 99% de probabilidade.
Tamanho das amostras: \(n_1\,=\,n_2\,=\,8\)
Médias amostrais:
\[\bar X_1\;=\;\frac{161\,+\,147\,+\,162\,+\,161\,+\,154\,+\,136\,+\,142\,+\,147}{8}\;=\;151,25\]
\[\bar X_2\;=\;\frac{140\,+\,162\,+\,147\,+\,133\,+\,130\,+\,137\,+\,137\,+\,136}{8}\;=\;140,25\]
\[\bar X_1\;-\;\bar X_2\;=\;151,25-140,24\;=\;11\]
\[s_1^2\;=\;\frac{\sum_1^n\,(X_{1i}-\bar X_1)^2}{n-1}\]
\[s_2^2\;=\;\frac{\sum_2^n\,(X_{2i}-\bar X_2)^2}{n-1}\]
Substituindo o respectivos valores, encontramos:
\[s_1^2\;=\;\frac{(161-151,25)^2\;+\;(147-151,25)^2\;+\;. . .+(147-151,25)^2}{7}\;=\;79,93\]
\[s_2^2\;=\;\frac{(140-140,25)^2\;+\;(162-140,25)^2\;+\;. . .+(136-140,25)^2}{7}\;=\;117,93\]
\[s_p^2\;=\;\frac{(n_1-1)\,s_1^2\;+\;(n_2-1)\,s_2^2}{n_1+n_2-2}\;=\;\frac{(7\,\times79,93)\;+\;(7\,\times\,117,93)}{14}\;=\;98,93\] * Erro Padrão das Diferenças das Médias:
\[\sqrt {s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}\;=\;\sqrt {98,93 \times\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)}\;=\;4,974\]
\[IC\;=\;(\bar X_1\,-\,\bar X_2)\,\pm\,t_{\frac{\alpha}{2}}\times\;Erro\;padrão\]
\[IC\;=\;11\,\pm\,2,977\,\times4,974\]
\[IC\;=\;11\,\pm\,14,81\]
\[IC\;=(\;-3,81;25,81)\]
