1 Introdução

A estimação intervalar é uma técnica da estatística inferencial usada para estimar um parâmetro populacional, como uma média ou proporção, com um intervalo de valores em vez de apenas um ponto específico. O intervalo é construído de forma a incluir o parâmetro verdadeiro da população com uma determinada probabilidade, chamada de nível de confiança.

Conceitos Básicos:

• Intervalo de Confiança (IC): É o intervalo de valores no qual acreditamos que o parâmetro populacional verdadeiro se encontra. Ele é construído usando a média da amostra e uma margem de erro, baseada na variabilidade dos dados e no tamanho da amostra.

• Nível de Confiança: É a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha o parâmetro verdadeiro. Por exemplo, um intervalo de confiança de 95% significa que, se repetirmos o experimento várias vezes, cerca de 95% dos intervalos construídos conterão o valor real do parâmetro populacional.

• Margem de Erro: Calculada com base no desvio padrão da amostra e no tamanho da amostra, é a quantidade que somamos e subtraímos da média amostral para definir o limite do intervalo.

Exemplo Básico:

Suponha que medimos a altura média de uma amostra de pessoas e encontramos uma média de 170 cm com um desvio padrão de 10 cm. Se usarmos um nível de confiança de 95%, podemos calcular um intervalo de confiança para estimar a média populacional com a fórmula do intervalo para uma média amostral.

A estimativa intervalar nos permite considerar a incerteza presente na amostra e obter uma estimativa mais confiável e prática do parâmetro populacional, sendo uma das ferramentas mais fundamentais na análise estatística.

2 Duas Distribuições Normais, Variâncias Conhecidas.

Neste relatório, consideraremos as inferências estatísticas para a diferença de médias $\mu_1-\mu_2$ de duas distribuições normais, em que as variâncias $\sigma_1^2$ e $\sigma_2^2$ são conhecidas

Suposições para Inferência com Duas Amostras.

• $X_{11},\, X_{12}\,,...,\,X_{1n}$ é uma amostra aleatória proveniente da população 1;

• $X_{21},\, X_{22}\,,...,\,X_{2n}$ é uma amostra aleatória proveniente da população 2;

• As duas populações representadas por $X_1$ e $X_2$ são independentes;

• Ambas as populações são normais.

3 Método da Quantidade Pivotal

O método da quantidade pivotal é uma técnica fundamental na inferência estatística, usada para construir intervalos de confiança. Ele explora uma estatística chamada de quantidade pivotal, que é uma função das variáveis amostrais e de um ou mais parâmetros desconhecidos e que possui uma distribuição conhecida. Isso torna o método extremamente útil para criar estimativas de intervalo, especialmente quando a distribuição exata dos estimadores é difícil de determinar.

Definição de uma Quantidade Pivotal

Uma quantidade pivotal, $Q(X;\theta)$, é uma função de uma amostra $X$ e do parâmetro $\theta$, e sua distribuição é independente do valor de $\theta$. Ou seja, se conhecemos a distribuíção de $Q(X;\theta)$, podemos usá-la para fazer inferências sobre $\theta$ sem depender do valor específico de $\theta$.

Exemplo: Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida

Considerando uma amostra $X_1,X_2,..., X_n$ extraída de uma distribuição normal $N(\mu;\sigma^2)$ com variância $\sigma^2$ conhecida, podemos definir a quantidade pivotal como:

$$Z\;=\;\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}$$

onde $\bar{X}$ é a média amostral e $Z\;\sim\;N\,(0,1)$ pela padronização da variável normal.

A partir dessa quantidade pivotal, podemos estabelecer um intervalo de confiança para $\mu$:

$$P\left(-\;z_{\frac{\alpha}{2}\;}\;\leq\;\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\;\leq\;z_{\frac{\alpha}{2}} \right)\;=\;1\;-\;\alpha$$

Reorganizando, obtemos:

$$P\left(\bar X-\;z_{\frac{\alpha}{2}\;}\frac{\sigma}{\sqrt n}\;\leq\;\mu\leq\;\bar X\;+\;z_{\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt n} \right)\;=\;1\;-\;\alpha$$

Esse é um intervalo de confiança $1 - \alpha$, para o parêmetro $\mu$, utilizando a quantidade pivotal $Z$.

Vantagens do Método da Quantidade Pivotal

• Generalizabilidade: O método é aplicável para diversos tipos de distribuições e amostras.

• Construção de Intervalos de Confiança: Facilita a criação de intervalos de confiança precisos para diferentes parâmetros.

• Independência do Parâmetro: Como a distribuição de uma quantidade pivotal não depende do parâmetro desconhecido, é mais fácil trabalhar com ela do que com estatísticas cuja distribuição varia com o parâmetro.

Desafios e Limitações

Para aplicar o método de quantidade pivotal, precisamos de pivôs cujas distribuições sejam conhecidas e independentes dos parâmetros. Em casos complexos, como amostras pequenas ou distribuições desconhecidas, a construção de quantidades pivots pode ser impraticável.

4 Aplicação do I.C. a um conjunto de dados

Considere duas máquinas que produzem peças, dos quais estamos avaliando a resistência à tensão dessas máquinas (MPa). Retirou-se uma amostra de 8 peças de cada máquina, e obtendo as seguintes resistências:

Máquina 1: $\{ 161, 147, 162, 161, 154, 136, 142, 147\}$

Máquina 1: $\{ 140, 162, 147, 133, 130, 137, 137, 136\}$

Considere que a resistência à tensão apresenta distribuição normal e que as variâncias populacionais são conhecidas para os dados obtidos pelas duas máquinas, porém iguais,encontre um estimador intervalar para a diferença das médias dos dois grupos, com um nível de confiança de 99% de probabilidade.