1.1 Distribuição Uniforme

É a variável aleatória discreta mais simples, pois apresenta um número finito de valores possíveis com igual probabilidade.

Uma variável aleatória $X$ tem uma distribuição Uniforme Discreta se cada um dos m valores em seu suporte, isto é, $x_1, x_2, . . . , x_m$, apresentar igual probabilidade, no caso

$$p(x_i)\;=\;\frac{1}{m},\; i = 1, 2, ..., m .$$ Denotamos por $X\thicksim\,UD(m)$

Exemplos

• O resultado de lançar um dado;

• O último dígito da placa de um carro;

• Um número de sorteio de Bingo;

• Um número de sorteio de Mega Sena;

• A posição da primeira lâmpada que queima em uma fita de luzes pisca-pisca.

• O último dígito de uma imagem de CAPTCHA de um site é igualmente provável de ser qualquer um entre 0 e 9. Sendo assim, se X representa o último dígito, então terá distribuição Uniforme Discreta com $p(x) = \frac{1}{10}$ para qualquer $x\;\in\; \left\{0, 1, ..., 9\right\}$

1.2 Distribuição Geométrica

• Considere novamente uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes.

• Suponha agora que o experimento é repetido até que ocorra sucesso pela primeira vez.

• A variável aleatória X é definida agora como o número de repetições necessárias para se obter o primeiro sucesso.

IMPORTANTE: No modelo Binomial o número de repetições é predeterminado (fixo), ao passo que no modelo Geométrico o número de repetições é uma variável aleatória.

EXEMPLO 1:

Um dado é lançado e sua face observada. Seja X o número de lançamentos até que saia a face 6. Obtenha a distribuição de probabilidade de X.

Nestas condições, a variável X segue distribuição geométrica com parâmetro $p$ e tem função de probabilidade dada por:

$$p(x) = P(X = x) = p(1 − p)^{x−1} ,\; x = 1,2,...$$

• $p = \frac{1}{6}$ é a probabilidade de se observar a face “6”(sucesso) em um único lançamento;
• $x$ é o número de lançamentos até o primeiro sucesso;
• $(1-p)^{x-1}$ é a probabilidade de não se observar a face “6”(fracasso).

Substituindo $p = \frac{1}{6}$ na fórmula, temos:

$$P(X=x) = (\frac{1}{6})\cdot(\frac{5}{6})^{x-1}$$

1.3 Distribuição de Pascal (ou Binomial Negativa)

É o caso geral do modelo geométrico. A distribuição de Pascal calcula as probabilidades nas situações em que seja necessário certo número de repetições antes que ocorra um sucesso. O sucesso está na última prova.

A probabilidade é calculada através da seguinte expressão:

$$P(X) = C_{n-1}^{x-1}\cdot P^x\cdot q^{n-x}.$$

Exemplo 1

Dada uma máquina que produz 20% de peças defeituosas, qual a probabilidade de a 8ª peça fabricada ser a 5ª boa?

Solução:

A fórmula da distribuição binomial negativa para o $𝑘-ésimo$ fracasso ocorrendo na $n-ésima$ tentativa é:

• n é o número total de tentativas, $n = 8$

• x é o número de sucessos(peças boas), $x = 5$

• p é a probabilidade de sucesso(ser boa)

$$P(X=5) = C_{8-1}^{5-1} \cdot 0,8^5\cdot 0,2^3\;=\;35\cdot 0,33\cdot0,08\;=\;9,18 \%$$

Exemplo 2

Uma máquina produz peças das quais 80% são consideradas perfeitas e 20% defeituosas. Qual a probabilidade de a 8ª peça fabricada ser a 3ª defeituosa?

Solução:

A fórmula da distribuição binomial negativa para o $𝑘-ésimo$ fracasso ocorrendo na $n-ésima$ tentativa é:

• n é o número total de tentativas, $n = 8$

• x é o número de sucessos(peças defeituosas), $x = 3$

• p é a probabilidade de sucesso(ser defeituosa)

$$P(X=3) = C_{8-1}^{3-1} \cdot 0,2^3\cdot 0,8^5\;=\;21\cdot 0,008\cdot0,05504\;=\;5,5 \%$$

1.4 Distribuição Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica é uma distribuição discreta que modela o número de eventos em um tamanho amostral fixo quando você conhece o número total de itens da população de onde vem a amostra. Cada item da amostra tem dois resultados possíveis (um evento ou um não-evento). As amostras são sem substituição, portanto, cada item da amostra é diferente. Quando um item é escolhido da população, ele não pode ser escolhido novamente. Portanto, a chance de um determinado item ser selecionado aumenta em cada ensaio, supondo-se que ele ainda não tenha sido selecionado.

Considere uma série de N objetos que contém:

• K objetos classificados como sucesso:

• N - K objetos classificados como fracasso.

• Uma amostra com n objetos é selecionada sem reposição.

• Temos a restrição de que $K < N$ e $n < N$.

• Seja $X$ o número de sucessos da amostra.

• $X$ tem distribuição hipergeométrica e

Exemplo 1:

• Temos 300 peças de tubos;

• 100 delas são fornecidas por um fornecedor local;

• 200 são fornecidas por um fornecedor vizinho;

• Quatro peças são selecionadas ao acaso sem reposição;

Qual a probabilidade de que todas venham do fornecedor local?

SOLUÇÃO

Seja $X$ o número de peças na amostra do fornecedor local.

$X$ tem distribuição hipergeométrica com $n = 300$ , $K = 100$ e $n = 4$.

Temos que,

Exemplo 2

Suponha que desejamos encontrar a probabilidade de que um comitê de 10 pessoas escolhidas em um grupo de 35 professores e 25 alunos inclua 0ito professores?

SOLUÇÃO

$X$ tem distribuição hipergeométrica com:

• Sucesso: sair professor;

• N = 35 + 25 = 60;

• n = 10;

• M = 35;

• x = 8.

Temos que,

2. Calcule a probabilidade que o comitê tenha pelo menos um aluno?

$X$ tem distribuição hipergeométrica com:

• Sucesso: sair aluno;

• N = 35 + 25 = 60;

• n = 10;

• M = 25;

• x = pelo menos um aluno = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Devemoa achar o valor de

$P(X\geq 1) = P(X=1) + P(X=2) + ...+ P(X=10)$.

Sabemos que

$P(X\geq 1) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ...+ P(X=10)\; = \; 1$

Logo,

$P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)$. Assim.

Logo,

$$P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)\;=\;1 - 0,00243\;=\;0,9976$$ .

1.5 Distribuição Multinomial

Distribuição de probabilidade muito usada como generalização da binomial.

Suponha que um experimento aleatório consiste de uma série de n tentativas. Assuma que:

• o resultado de cada tentativa é classificado dentro de k classes

• a probabilidade de uma tentativa gerar um resultado na classe 1, na classe 2, …., na classe k é constante igual a P11, p2 .. pk, respectivamente.

• as tentativas são independentes

As variáveis X1, X2, …. Xp que denotam o número de tentativas que resultam na classe 1, na classe 2, …., na classe k, respectivamente têm densidade MULTINOMIAL, com probabilidade conjunta

$$P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,...,X_k=x_k) = \frac{n!}{x_1!x_2!...x_p!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_k^{x_k}$$

Para $x_1 + x_2 + . . .+ x_k\;=\; n$ e $p_1 + p_2 + . . . + p_n\;=\; 1.$

Exemplo 1

Um receptor recebe 20 bits. Qual a probabilidade de que 12 sejam excelentes, 6 serem bons, 2 serem razoáveis e nenhum ser ruim? Assuma que a classificação de cada bit é independente e que a probabilidade de cada classificação é $0,6$; $0,3$; $0,08$; $0,02$, respectivamente.

SOLUÇÃO

$$P(X_1=12,X_2=6,X_3=2,X_4=0) = \frac{20!}{12!6!2!0!}\cdot (0,61)^{12}\cdot (0,3)^{6}\cdot (0,08)^{2}\cdot (0,02)^0\;=\;0,0358.$$

Exemplo_2

Dadas as máquinas A, B, C e D, que produzem respectivamente 10%, 20%, 30% e 40% da produção total de certa oficina, determine a probabilidade de um lote de 2 dúzias de peças aleatoriamente escolhidas terem sido produzidas do seguinte modo: 4 pela máquina A, 5 pela B, 7 pela C e 8 pela D.

SOLUÇÃO

$$P(A=4,B=5,C=7,D=8) = \frac{24!}{4!5!7!8!}\cdot (0,10)^{4}\cdot (0,20)^{5}\cdot (0,30)^{7}\cdot (0,40)^8\;=\;0,0049\;=\;0,49\%.$$

2.1 Distribuição Exponencial

Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com parâmetro λ se sua função densidade de probabilidade é dada por

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cccc} \lambda\,e^{-\lambda\,x}\;\;,x > 0\\ 0\;,\; x \;\leq\;0\\ \end{array}\right.$$

Como essa função depende apenas do valor de λ, esse é o parâmetro da densidade exponencial.

Usaremos a seguinte notação para indicar que uma variável aleatória tem distribuição exponencial com parâmetro λ: X ∼ exp(λ). O gráfico da densidade exponencial para λ = 5.

2.2 Distribuição Uniforme

Em estatística e probabilidade, a distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo, visto que na distribuição uniforme a $f(x)$ é igual para qualquer valor de x no intervalo considerado. Por exemplo, se considerarmos um intervalo em x de zero à dez positivo $(xЄ[0,10] )$, e assumirmos que temos uma distribuição uniforme nesse intervalo, a probabilidade de f(x) no intervalo $2< x <5$ é igual a probabilidade de f(x) no intervalo 5<x<8 pois sabemos que a distribuição é uniforme nesses intervalos e possuímos os intervalos com o mesmo tamanho.

Outra maneira de se dizer “distribuição uniforme” seria “um número finito de resultados com chances iguais de acontecer”.

Ela é usada quando assumimos intervalos iguais da variável que a mesma probabilidade .

Um simples exemplo de distribuição uniforme é lançar um dado não viciado. Os possíveis valores são 1,2,3,4,5,6, e a cada turno que o dado é jogado a probabilidade de cada valor é 1/6. Se dois dados são lançados e seus valores adicionados, a distribuição resultante não é mais uniforme pois as somas não são uma variável equiprovável.

A distribuição discreta uniforme em si não possui parâmetros. No entanto, é conveniente representar seus possíveis resultados com um intervalo fechado [a,b], sendo ‘a’ e ‘b’ considerados os principais parâmetros da distribuição. Com isso a função acumulada dessa distribuição é representada como:

Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a função densidade de probabilidade é:

Esta distribuição tem valor médio ou esperança matemática de X, dada por

$$E(X)\;=\;\frac{a + b}{2}$$ e variância $$Var(X)\;=\;\frac{(a + b)^2}{12}$$

2.3 Distribuição Gama

A distribuição normal é uma das distribuições de probabilidade mais utilizadas para modelar fenômenos naturais, mas existem outras. A distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. É usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que zero. É muito utilizada em Meteorologia, para descrever distribuição de precipitação, e em engenharia, para obtenção do tempo de retorno de um equipamento com falha.

Enquanto que uma distribuição normal é caracterizada por sua média e desvio padrão, uma distribuição gama usa outros parâmetros. A parametrização usando alpha e beta é mais comum em estatística bayesiana, enquanto que usando $k$ e $\theta$ é mais comum em econometria. Considera-se $k = \alpha$ e $\beta = 1/\alpha$, este conhecido como parâmetro de escala inversa ou taxa (“rate”). Sua função densidade de probabilidade pode ser escrita como:

$$f(x;\alpha , \beta)\;=\;\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha)}$$

com a função gama no denominador descrita como:

$$\Gamma (\alpha)\;=\;(\alpha - 1)!$$

A função gama é uma extensão analítica da função fatorial para o conjunto dos números reais e complexos, sendo uma solução para o seguinte problema de interpolação: encontrar uma curva suave que conecte os pontos $(x, y)$ dados por $y = (x − 1)!$ em que x é um inteiro positivo.

O parâmetro de forma (k) indica o formato geral da curva. Quanto maior o valor de $k$, mais a distribuição tende a se aproximar de uma gaussiana. No gráfico a seguir, isso pode ser notado pelas curvas preta, vermelha, verde e azul (respectivamente), que apresentam somente o parâmetro de forma variando de modo crescente. Se $k$ é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang; para $k = 1$, a distribuição gama será simplificada para a distribuição exponencial.

O parâmetros de escala $(θ)$ indica o escalonamento da curva, ou seja, o quanto ela pode “esticar” ou “encolher” para cima (eixo y), dependendo das magnitudes gerais dos valores dos dados representados. Note que as curvas preta, vermelha, verde e azul (respectivamente) ficam mais “baixas” quanto maior o parâmetro de escala.

Muitas distribuições comumente usadas para modelos paramétricos na análise de sobrevivência (como a distribuição Exponencial, a distribuição Weibull e a gama Gamma) são casos especiais da gama generalizada. A distribuição de Pearson do tipo III é uma distribuição gama generalizada de três parâmetros, que por sua vez é uma generalização da distribuição gama de dois parâmetros.

A distribuição log-normal é um caso especial da distribuição log-Pearson tipo III quando o coeficiente de assimetria/ distorção “skew” (Cs) dos dados logarítmicos é igual a 0. Quando o skew é positivo significa que a distorção é para a esquerda e quando negativo a distorção é para a direita. Essa distribuição e a de Gumbel são muito usadas para inundações máximas anuais.

2.4 Distribuição Qui-Quadrado

A distribuição $X^2$ ou qui-quadrado é uma das distribuições mais utilizadas em estatística inferencial, principalmente para realizar testes de $X^2$. Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição $X^2$.

2.5 Distribuição F

A distribuição F é uma distribuição de amostragem contínua da razão de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida por seus graus de liberdade. O distribuição F é assimétrica à direita e descrito pelos graus de liberdade de seu numerador (ν1) e denominador (ν2). Os gráficos a seguir mostram o efeito de diferentes valores de graus de liberdade na forma da distribuição.

Utilize a distribuição F, quando uma estatística de teste é a razão entre duas variáveis que tenham, cada uma delas, uma distribuição do qui-quadrado. Por exemplo, use a distribuição F na análise de variância e em testes de hipóteses para determinar se duas variâncias de população são iguais.

Exemplo

Calcular as probabilidades para uma distribuição F com graus de liberdade do denominador infinitos Suponha que $X$ segue uma distribuição F com 5 graus de liberdade do numerador e graus de liberdade do denominador infinitos, e você quer que a probabilidade de que $X$ seja menor ou igual a 2. Você pode encontrar a probabilidade de que Y é menor ou igual a 2, onde Y segue uma distribuição F com 5 numeradores e 99999 denominadores nos graus de liberdade e Y aproxima X.

1. Selecione Calc > Distribuições de probabilidades > F.
2. Em Graus de liberdade do numerador, insira 5.
3. Em Graus de liberdade do denominador, insira 99999.
4. Escolhe Constante de entrada e insira 2. Clique em OK.

O FDA para 2 é 0,924755. Este valor dá a área sob a curva até 2.