É a variável aleatória discreta mais simples, pois apresenta um número finito de valores possíveis com igual probabilidade.
Uma variável aleatória \(X\) tem uma distribuição Uniforme Discreta se cada um dos m valores em seu suporte, isto é, \(x_1, x_2, . . . , x_m\), apresentar igual probabilidade, no caso
\[p(x_i)\;=\;\frac{1}{m},\; i = 1, 2, ..., m .\] Denotamos por \(X\thicksim\,UD(m)\)
Exemplos
O resultado de lançar um dado;
O último dígito da placa de um carro;
Um número de sorteio de Bingo;
Um número de sorteio de Mega Sena;
A posição da primeira lâmpada que queima em uma fita de luzes pisca-pisca.
O último dígito de uma imagem de CAPTCHA de um site é igualmente provável de ser qualquer um entre 0 e 9. Sendo assim, se X representa o último dígito, então terá distribuição Uniforme Discreta com \(p(x) = \frac{1}{10}\) para qualquer \(x\;\in\; \left\{0, 1, ..., 9\right\}\)
Suponha que X tenha suporte definido no conjunto de números inteiros consecutivos \(a, a + 1, a + 2, . . . , b − 1, b, para\; a < b\). Dessa forma, o número de valores é \(m = b − a + 1\),cada um com probabilidade \(p = 1/m.\)
Dessa forma, tem-se que
\[\mu\;=\;E(X)\;=\;\sum_{x=a}^{b}\;x\cdot\;\Bigl(\frac{1}{b-a+1}\Bigl)\;=\;\frac{b+a}{2}\] * A Variância é
\[\sigma^2\;=\;V(X)\;=\;\sum_{x=a}^{b}\;(x - \mu)^2\cdot\;\Bigl(\frac{1}{b-a+1}\Bigl)\;=\;\frac{(b - a + 1)^2}{12}\] GRÁFICOS DA DISTRIBUIÇÃO
Considere novamente uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes.
Suponha agora que o experimento é repetido até que ocorra sucesso pela primeira vez.
A variável aleatória X é definida agora como o número de repetições necessárias para se obter o primeiro sucesso.
IMPORTANTE: No modelo Binomial o número de repetições é predeterminado (fixo), ao passo que no modelo Geométrico o número de repetições é uma variável aleatória.
EXEMPLO 1:
Um dado é lançado e sua face observada. Seja X o número de lançamentos até que saia a face 6. Obtenha a distribuição de probabilidade de X.
Nestas condições, a variável X segue distribuição geométrica com parâmetro \(p\) e tem função de probabilidade dada por:
\[p(x) = P(X = x) = p(1 − p)^{x−1} ,\; x = 1,2,...\]
Substituindo \(p = \frac{1}{6}\) na fórmula, temos:
\[P(X=x) = (\frac{1}{6})\cdot(\frac{5}{6})^{x-1}\]
Para a distribuição geométrica o número esperado \(E(X)\), a variância \(Var(X)\) e o desvio padrão \(\sigma\) são dados por:
\[ E(X) = \frac{1}{p}\]
\[ Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\]
\[ \sigma = \sqrt{Var(X)}\] Exemplo 2:
A probabilidade de que haja alguma falha no lançamento de uma nave espacial é 10%. Qual é a probabilidade de que para lançar a nave seja necessário:
a) 2 tentativas?
Queremos a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na segunda tentativa. Ou seja, a primeira tentativa falha e a segunda tentativa tem sucesso. A fórmula é:
\[ P(X=2) = p\cdot (1-p)^1 = 0,90\cdot 0,10^1 = 0,09\]
Portanto, a probabilidade de que sejam necessárias 2 tentativas é 0,09, ou 9%. Para \(p = 0,90\)
b) no máximo 3 tentativas?
Aqui, queremos a probabilidade de que o sucesso ocorra na primeira, segunda ou terceira tentativa, ou seja,
\[P(X \leqslant 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\].
Para cada valor de \(X\):
\(P(X=1) = (0,10)^0\cdot 0,90 = 0,90\).
\(P(X=1) = (0,10)^1\cdot 0,90 = 0,09\).
\(P(X=2) = (0,10)^2\cdot 0,90 = 0,009\).
Somando essas probabilidades:
\[P(X\leqslant 3) = 0,90 + 0,09 + 0,009 = 0,999\].
c) Calcule o número esperado de tentativas de lançamento da nave espacial. Calcule também a variância e o desvio padrão do número de tentativas de lançamento
Para \(p = 0,90:\)
\[ E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0,90}\approx 1,11.\]
Para \(p = 0,90:\)
\[ Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1-0,90}{0,90^2} = \frac{0,10}{0,81}\approx 0,1235.\]
\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0,1235}\approx 0,3514.\] Portanto:
É o caso geral do modelo geométrico. A distribuição de Pascal calcula as probabilidades nas situações em que seja necessário certo número de repetições antes que ocorra um sucesso. O sucesso está na última prova.
A probabilidade é calculada através da seguinte expressão:
\[P(X) = C_{n-1}^{x-1}\cdot P^x\cdot q^{n-x}.\]
Exemplo 1
Dada uma máquina que produz 20% de peças defeituosas, qual a probabilidade de a 8ª peça fabricada ser a 5ª boa?
Solução:
A fórmula da distribuição binomial negativa para o \(𝑘-ésimo\) fracasso ocorrendo na \(n-ésima\) tentativa é:
n é o número total de tentativas, \(n = 8\)
x é o número de sucessos(peças boas), \(x = 5\)
p é a probabilidade de sucesso(ser boa)
\[P(X=5) = C_{8-1}^{5-1} \cdot 0,8^5\cdot 0,2^3\;=\;35\cdot 0,33\cdot0,08\;=\;9,18 \% \]
Exemplo 2
Uma máquina produz peças das quais 80% são consideradas perfeitas e 20% defeituosas. Qual a probabilidade de a 8ª peça fabricada ser a 3ª defeituosa?
Solução:
A fórmula da distribuição binomial negativa para o \(𝑘-ésimo\) fracasso ocorrendo na \(n-ésima\) tentativa é:
n é o número total de tentativas, \(n = 8\)
x é o número de sucessos(peças defeituosas), \(x = 3\)
p é a probabilidade de sucesso(ser defeituosa)
\[P(X=3) = C_{8-1}^{3-1} \cdot 0,2^3\cdot 0,8^5\;=\;21\cdot 0,008\cdot0,05504\;=\;5,5 \% \]
A distribuição hipergeométrica é uma distribuição discreta que modela o número de eventos em um tamanho amostral fixo quando você conhece o número total de itens da população de onde vem a amostra. Cada item da amostra tem dois resultados possíveis (um evento ou um não-evento). As amostras são sem substituição, portanto, cada item da amostra é diferente. Quando um item é escolhido da população, ele não pode ser escolhido novamente. Portanto, a chance de um determinado item ser selecionado aumenta em cada ensaio, supondo-se que ele ainda não tenha sido selecionado.
Considere uma série de N objetos que contém:
K objetos classificados como sucesso:
N - K objetos classificados como fracasso.
Uma amostra com n objetos é selecionada sem reposição.
Temos a restrição de que \(K < N\) e \(n < N\).
Seja \(X\) o número de sucessos da amostra.
\(X\) tem distribuição hipergeométrica e
Exemplo 1:
Temos 300 peças de tubos;
100 delas são fornecidas por um fornecedor local;
200 são fornecidas por um fornecedor vizinho;
Quatro peças são selecionadas ao acaso sem reposição;
Qual a probabilidade de que todas venham do fornecedor local?
SOLUÇÃO
Seja \(X\) o número de peças na amostra do fornecedor local.
\(X\) tem distribuição hipergeométrica com \(n = 300\) , \(K = 100\) e \(n = 4\).
Temos que,
Exemplo 2
Suponha que desejamos encontrar a probabilidade de que um comitê de 10 pessoas escolhidas em um grupo de 35 professores e 25 alunos inclua 0ito professores?
SOLUÇÃO
\(X\) tem distribuição hipergeométrica com:
Sucesso: sair professor;
N = 35 + 25 = 60;
n = 10;
M = 35;
x = 8.
Temos que,
\(X\) tem distribuição hipergeométrica com:
Sucesso: sair aluno;
N = 35 + 25 = 60;
n = 10;
M = 25;
x = pelo menos um aluno = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Devemoa achar o valor de
\(P(X\geq 1) = P(X=1) + P(X=2) + ...+ P(X=10)\).
Sabemos que
\(P(X\geq 1) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ...+ P(X=10)\; = \; 1\)
Logo,
\(P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)\). Assim.
Logo,
\[P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)\;=\;1 - 0,00243\;=\;0,9976\].
Distribuição de probabilidade muito usada como generalização da binomial.
Suponha que um experimento aleatório consiste de uma série de n tentativas. Assuma que:
o resultado de cada tentativa é classificado dentro de k classes
a probabilidade de uma tentativa gerar um resultado na classe 1, na classe 2, …., na classe k é constante igual a P11, p2 .. pk, respectivamente.
as tentativas são independentes
As variáveis X1, X2, …. Xp que denotam o número de tentativas que resultam na classe 1, na classe 2, …., na classe k, respectivamente têm densidade MULTINOMIAL, com probabilidade conjunta
\[ P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,...,X_k=x_k) = \frac{n!}{x_1!x_2!...x_p!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_k^{x_k} \]
Para \(x_1 + x_2 + . . .+ x_k\;=\; n\) e \(p_1 + p_2 + . . . + p_n\;=\; 1.\)
Exemplo 1
Um receptor recebe 20 bits. Qual a probabilidade de que 12 sejam excelentes, 6 serem bons, 2 serem razoáveis e nenhum ser ruim? Assuma que a classificação de cada bit é independente e que a probabilidade de cada classificação é \(0,6\); \(0,3\); \(0,08\); \(0,02\), respectivamente.
SOLUÇÃO
\[ P(X_1=12,X_2=6,X_3=2,X_4=0) = \frac{20!}{12!6!2!0!}\cdot (0,61)^{12}\cdot (0,3)^{6}\cdot (0,08)^{2}\cdot (0,02)^0\;=\;0,0358. \]
Exemplo_2
Dadas as máquinas A, B, C e D, que produzem respectivamente 10%, 20%, 30% e 40% da produção total de certa oficina, determine a probabilidade de um lote de 2 dúzias de peças aleatoriamente escolhidas terem sido produzidas do seguinte modo: 4 pela máquina A, 5 pela B, 7 pela C e 8 pela D.
SOLUÇÃO
\[ P(A=4,B=5,C=7,D=8) = \frac{24!}{4!5!7!8!}\cdot (0,10)^{4}\cdot (0,20)^{5}\cdot (0,30)^{7}\cdot (0,40)^8\;=\;0,0049\;=\;0,49\%.\]
Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com parâmetro λ se sua função densidade de probabilidade é dada por
\[ f(x) = \left\{\begin{array}{cccc} \lambda\,e^{-\lambda\,x}\;\;,x > 0\\ 0\;,\; x \;\leq\;0\\ \end{array}\right. \]
Como essa função depende apenas do valor de λ, esse é o parâmetro da densidade exponencial.
Usaremos a seguinte notação para indicar que uma variável aleatória tem distribuição exponencial com parâmetro λ: X ∼ exp(λ). O gráfico da densidade exponencial para λ = 5.
\[E(X)\;=\;\frac{1}{\lambda}\] \[Var(X)\;=\;\frac{1}{\lambda^2}\]
Em estatística e probabilidade, a distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo, visto que na distribuição uniforme a \(f(x)\) é igual para qualquer valor de x no intervalo considerado. Por exemplo, se considerarmos um intervalo em x de zero à dez positivo \((xЄ[0,10] )\), e assumirmos que temos uma distribuição uniforme nesse intervalo, a probabilidade de f(x) no intervalo \(2< x <5\) é igual a probabilidade de f(x) no intervalo 5<x<8 pois sabemos que a distribuição é uniforme nesses intervalos e possuímos os intervalos com o mesmo tamanho.
Outra maneira de se dizer “distribuição uniforme” seria “um número finito de resultados com chances iguais de acontecer”.
Ela é usada quando assumimos intervalos iguais da variável que a mesma probabilidade .
Um simples exemplo de distribuição uniforme é lançar um dado não viciado. Os possíveis valores são 1,2,3,4,5,6, e a cada turno que o dado é jogado a probabilidade de cada valor é 1/6. Se dois dados são lançados e seus valores adicionados, a distribuição resultante não é mais uniforme pois as somas não são uma variável equiprovável.
A distribuição discreta uniforme em si não possui parâmetros. No entanto, é conveniente representar seus possíveis resultados com um intervalo fechado [a,b], sendo ‘a’ e ‘b’ considerados os principais parâmetros da distribuição. Com isso a função acumulada dessa distribuição é representada como:
Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a função densidade de probabilidade é:
Esta distribuição tem valor médio ou esperança matemática de X, dada
por
\[E(X)\;=\;\frac{a + b}{2}\] e variância \[Var(X)\;=\;\frac{(a + b)^2}{12}\]
A distribuição normal é uma das distribuições de probabilidade mais utilizadas para modelar fenômenos naturais, mas existem outras. A distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. É usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que zero. É muito utilizada em Meteorologia, para descrever distribuição de precipitação, e em engenharia, para obtenção do tempo de retorno de um equipamento com falha.
Enquanto que uma distribuição normal é caracterizada por sua média e desvio padrão, uma distribuição gama usa outros parâmetros. A parametrização usando alpha e beta é mais comum em estatística bayesiana, enquanto que usando \(k\) e \(\theta\) é mais comum em econometria. Considera-se \(k = \alpha\) e \(\beta = 1/\alpha\), este conhecido como parâmetro de escala inversa ou taxa (“rate”). Sua função densidade de probabilidade pode ser escrita como:
\[f(x;\alpha , \beta)\;=\;\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha)}\]
com a função gama no denominador descrita como:
\[\Gamma (\alpha)\;=\;(\alpha - 1)!\]
A função gama é uma extensão analítica da função fatorial para o conjunto dos números reais e complexos, sendo uma solução para o seguinte problema de interpolação: encontrar uma curva suave que conecte os pontos \((x, y)\) dados por \(y = (x − 1)!\) em que x é um inteiro positivo.
O parâmetro de forma (k) indica o formato geral da curva. Quanto maior o valor de \(k\), mais a distribuição tende a se aproximar de uma gaussiana. No gráfico a seguir, isso pode ser notado pelas curvas preta, vermelha, verde e azul (respectivamente), que apresentam somente o parâmetro de forma variando de modo crescente. Se \(k\) é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang; para \(k = 1\), a distribuição gama será simplificada para a distribuição exponencial.
O parâmetros de escala \((θ)\) indica o escalonamento da curva, ou seja, o quanto ela pode “esticar” ou “encolher” para cima (eixo y), dependendo das magnitudes gerais dos valores dos dados representados. Note que as curvas preta, vermelha, verde e azul (respectivamente) ficam mais “baixas” quanto maior o parâmetro de escala.
Muitas distribuições comumente usadas para modelos paramétricos na análise de sobrevivência (como a distribuição Exponencial, a distribuição Weibull e a gama Gamma) são casos especiais da gama generalizada. A distribuição de Pearson do tipo III é uma distribuição gama generalizada de três parâmetros, que por sua vez é uma generalização da distribuição gama de dois parâmetros.
A distribuição log-normal é um caso especial da distribuição log-Pearson tipo III quando o coeficiente de assimetria/ distorção “skew” (Cs) dos dados logarítmicos é igual a 0. Quando o skew é positivo significa que a distorção é para a esquerda e quando negativo a distorção é para a direita. Essa distribuição e a de Gumbel são muito usadas para inundações máximas anuais.
A distribuição \(X^2\) ou qui-quadrado é uma das distribuições mais utilizadas em estatística inferencial, principalmente para realizar testes de \(X^2\). Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição \(X^2\).
Dado um experimento onde foram realizadas \(N\) medidas de uma variável aleatória \(X\). Em cada medida, a variável \(X\) assume os valores \(x_1\;,x_2\;, . . ,\;x_k\;,. . ., x_N\). Gostaríamos de testar se a distribuição experimental dos valores \(x_1\;,x_2\;, . . ,\;x_k\;,. . ., x_N\) é consistente com a distribuição esperada para o fenômeno, \(f(X)\). Em outras palavras, temos que avaliar como esperaríamos que as \(N\) medidas estivessem distribuídas e então comparar com a distribuição observada. Primeiramente, em geral \(x\) é uma variável contínua, de forma que não podemos nos referir ao valor esperado de medidas com um único valor de \(x[2]\) (se \(x\) for contínuo, a probabilidade de \(X\) assumir um exato valor é zero). Logo, precisamos definir intervalos \(a ≤ x ≤ b\) e calcular o número esperado de medidas que devem estar dentro de cada intervalo \(j\), em que \(j = 1, 2, …, n\) e \(n\) é o número de intervalos definidos. O número de medidas esperadas para o intervalo \(j\), \(E_j\), será, então,
\[E_j\;=\;NPr_j\]
onde \(Pr_j\) é a probabilidade de \(X\) assumir um valor dentro do intervalo \(j\). Essa probabilidade obviamente depende da distribuição \(f(X)\) e é normalizada:
\[\sum_{j}\;Pr_j\;=\;1 \] É natural analisar a diferença entre o número de amostras observadas dentro de cada intervalo, \(O_j\), e o número esperado:
\[\frac{O_j\;-\;E_j}{\sigma_j}\]
seja da ordem de unidade, se nossa hipótese for verdadeira. Definimos, portanto, a variável \(X^2_k\), com \(k\) graus de liberdade estatísticos, como sendo
\[X^2_k\;\equiv\;\sum_{j=1}^{n}\;\frac{(O_j\;-\;E_j\;)^2}{E_j}\] indicando o quanto as distribuições experimental e teórica são parecidas. Se \(X^2\;\leq n\), há uma boa concordância entre as distribuições, e se \(X^2\;\geq n\) é bem provável que a hipótese para \(f(X)\) seja falsa. Os graus de liberdade k são definidos como a diferença entre o número de medidas realizadas e o número de restrições feitas aos valores das medidas.
A probabilidade da distribuição qui quadrado não é simétrica como a da distribuição normal. Dessa forma, para aumentar seu estado de simetria, é necessário aumentar o seu grau de liberdade, portanto a relação entre simetria e grau de liberdade é diretamente proporcional.
A variável \(X^2_k\), por si só, apresenta uma função densidade de probabilidade.Esta função apresenta qual a probabilidade de a variável \(X^2_k\) assumir um valor entre \(X^2_k\) e \(X^2_k + dX^2_k\), e é dada por:
\[f(X^2_k)\;=\;\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}(X^2_k)^{k/2-1}e^{X^2_k/2}.\] Exemplos desta função para diversos k estão plotados na figura abaixo.
Em posse desta expressão, pode-se calcular a probabilidade de, num teste de \(X^2\), obter-se um valor igual ou maior ao valor encontrado, \((X^2)'\), calculando a integral
\[\int_{(X^2)'}^{\infty}f(X^2)dX^2\] Desta forma, encontramos um modo quantitativo para determinar a concordância entre distribuição experimental e teórica. Em geral, para evitar o cálculo desta integral, se recorre a tabelas que apresentam os valores das probabilidades para cada intervalo de confiança e para cada grau de liberdade.
É interessante analisar que a média da distribuição \(X^2\) é \(k\). Isto é se repetirmos o teste de \(X^2\) muitas vezes (para várias medidas coletadas diferentes), esperamos que a média dos valores de \(X^2\) encontrados tenda para o número de graus de liberdade estatísticos.
A distribuição qui-quadrado pode ser simulada a partir da distribuição normal.
A distribuição F é uma distribuição de amostragem contínua da razão de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida por seus graus de liberdade. O distribuição F é assimétrica à direita e descrito pelos graus de liberdade de seu numerador (ν1) e denominador (ν2). Os gráficos a seguir mostram o efeito de diferentes valores de graus de liberdade na forma da distribuição.
Utilize a distribuição F, quando uma estatística de teste é a razão entre duas variáveis que tenham, cada uma delas, uma distribuição do qui-quadrado. Por exemplo, use a distribuição F na análise de variância e em testes de hipóteses para determinar se duas variâncias de população são iguais.
Exemplo
Calcular as probabilidades para uma distribuição F com graus de liberdade do denominador infinitos Suponha que \(X\) segue uma distribuição F com 5 graus de liberdade do numerador e graus de liberdade do denominador infinitos, e você quer que a probabilidade de que \(X\) seja menor ou igual a 2. Você pode encontrar a probabilidade de que Y é menor ou igual a 2, onde Y segue uma distribuição F com 5 numeradores e 99999 denominadores nos graus de liberdade e Y aproxima X.
O FDA para 2 é 0,924755. Este valor dá a área sob a curva até 2.