A noção de conjunto, em Matemática, é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de agrupamento, coleção, classe, etc. Os objetos que constituem determinado conjunto são chamados de elementos do conjunto. Se um elemento é constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao conjunto. Esse fato é indicado pelo símbolo ∈ . Por exemplo, chamando de P o conjunto dos números pares, escrevemos: \(2\in P\) e \(3 \not\in P\).
Por enumeração do seus elementos: \(A = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\);
Por uma propriedade que satisfaz todos os elementos do conjunto: \(A = \{3\leq x \leq 10\}\).
Através de Diagrams:
Chama-se vazio e indica-se por ∅ ou \(\{\}\) o conjunto que não possue elemento algum.
Dois conjuntos, A e B, são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Se A e B são dois conjuntos, pode ocorrer que todo elemento de A seja também elemento de B. Quando isso ocorrer, dizemos que A é subconjunto de B ou que A é parte de B ou, ainda, que A está contido em B.
Notação: \(A \subset B\) {Lê-se: A está contido em B} ou \(B \supset A\) {Lê-se: B contém A}.
Se \(A \subset B\) mas existe um elemento \(b\in B\) tal que \(b\notin A\), (b não pertence a A), diremos que \(A\) é um subconjunto próprio de \(B\).
Observe que o conjunto vazio é suconjunto de qualquer conjunto \(A\). Com efeito, se isso não fosse verdade, deveria haver um elemento $x∅ $ tal que $ xA$, o que é impossível.
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\) indicaremos por \(A\cup B\) O conjunto dos elementos que pertencem a \(A\) ou a \(B\), isto é, o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos “A” e “B”. Este conjunto é chamado de união de \(A\) com \(B\). Simbolicamente, \(A \cup B = \{\omega \in \Omega\, |\, \omega \in A\; ou\; \omega \in B\}\).
A parte sombreada da Figura abaixo ilustra o conjunto \(A \cup B\).
A união de três conjuntos A, B e C será representada por \(A\;\cup\,B\,\cup\,C\).
\(A\;\cup\;B\;\cup\;C = \{\omega\,\in\,\Omega\,|\,\omega\,\in\,A\:ou\:\omega\,\in B \;ou\;\;\omega \;\in C\}\)
Mais geralmente, a união de n conjuntos \(A_1 , A_2 , . . . , A_n\) é chamada analogamente e representada por \(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\).
Dados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção de A e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B, ou seja
\(A\;\cap\;B \,=\;\{\omega\;\in\,\Omega\,|\,\omega\,\in\,A\;\;e\;\;\omega\,\in\,B\}\)
A parte sombreada da figura abaixo ilustra a interseção de A e B.
No caso de termos por exemplo três conjuntos A, B e C, a interseção é representada por \(A\;\cap\;B\;\cap\;C\):
\(A\;\cap\;B\;\;\cap\;C = \{\,\omega\,\in\,\Omega\,|\;\omega\,\in\,A\;\;e\;\;\omega\,\in\,B\;\;e\;\;\omega\,\in\,C\;\}\)
A interseção de n conjuntos \(A_1,\,A_2,\,...,A_n\) é representada por \(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\).
Dizemos que dois conjuntos A e B são disjuntos se \(A\;\cap\;B = \emptyset\). Quando temos mais de dois conjuntos, dizemos que eles são disjuntos quando forem disjuntos tomados 2 a 2. A figura abaixo ilustra o caso de três conjuntos disjuntos.
Dados um conjunto A. chamaremos conjunto conplementar de A o conjunto dos elementos de \(\Omega\) que não pertencem a A. Simbolicamente
\(A^C\) = \(\{\;\omega\in\,\Omega\,|\;\omega\;\notin\;A\}\)
A parte sombreada da figura abaixo indica o complementar de A.
Dados dois conjuntos A e B. o conjunto
\(A\;\cap B^C\) = \(\{\;\omega\in\,\Omega\,|\;\omega\;\in\;A\;\;e\;\;\omega\notin B\}\) é chamado de diferença de A e B, é representado geralmente por A - B. A parte sombreada da figura abaixo mostra a diferença de A e B.
Se \(B\subset A\), a diferença \(A-B\) é chamada diferença própria.
O Teorema a seguir lista as propriedades mais importantes que relacionam os conceitos definidos anteriormente.
Teorema 1.
Seja A um conjunto finito não vazio. Uma partição de A é uma família de conjuntos \(A_1 , A_2, ...,A_k\), todos não vazios, e tais que:
Ou seja, os conjuntos \(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k\) são disjuntos dois-a-dois e sua união é o conjunto A. Dizemos também que A foi particionado pelos conjuntos \(A_1 , A_2, ...,A_k\).
Experimento aleatório é qualquer experimento cujo resultado não se consegue prever.
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral.
Espaço de Probabilidade:
Dado o espaço amostral \(\Omega\) de certo experimento aleatório, uma Probabilidade é uma função que atribui a cada evento \(E \subset \Omega\) um determinado valor P(A) que satifaz as seguintes condições:
\(0 \leq PA) \leq 1\), para todo evento \(A \subset \Omega\);
\(P(\emptyset) = 0\), \(\,P(\Omega) = 1\);
Se A e B são eventos disjuntos (também chamados mutuamente exclusivos) \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\).
\(P(A^C) = 1 - P(A)\).
Se \(A\subset B\) então \(P(A) = P(B) - P(B -A)\).
\(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\).
Calcular:
a) \(P(A\cup B)\);
b) \(P(A^C)\);
c) \(P(B^C)\);
d) \(P(A\cap B^C)\);
e) \(P(A^C\cap B)\);
f) \(P(A^C\cap B^C)\);
g) \(P(A^C\cup B^C)\);
Soluções:
a) \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)
\(P(A\cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{10+5-4}{20} = \frac{11}{20}\)
b) \(P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
c) \(P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
d) \(P(A\cap B^C) = P(A) - P(A\cap B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5-2}{10} = \frac{3}{10}\).
e) \(P(A^C\cap B) = P(B) - P(A\cap B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}\).
f) \(P(A^C\cap B^C) = 1 - P[(A\cup B)^C] = 1 - \frac{11}{20} = \frac{20-11}{10} = \frac{9}{20}\).
g) \(P(A^C\cup B^C) = 1 - P[(A\cap B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\).
2) Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.
Solução;
Sejam:
Variável aleatória (X) = Quantidade de peças extraídas= 10;
A variável aleatória (X) pode assumir os valores: 0, 1, 2,.., 10;
Vamos atribuir o valor \(0\) para o sucesso (Peças defeituosas) e \(1\) para o sucesso ( peças sem defeitos). Temos que,
\(P(0)\) = \(\frac{15}{35} = \frac{3}{7}\).
\(P(1)\) = \(\frac{20}{35} = \frac{4}{7}\).
\(P(X= 0)\), significa a probabilidade de termos nenhuma peça com defeito;
\(P(X=1)\), significa a probabilidade de termos \(1\) peça com defeito;
\(P(X=2)\), significa a probabilidade de termos \(2\) peças com defeito;
……………………………………………………………………..;
\(P(X=10)\), significa a probabilidade de termos (10) peças com defeito;
A probabilidade para que tenhamos, exatamente, nenhuma, uma, duas,…, dez peças defeituosas é dada pela expressão:
\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), onde p é a probabilidade do fracasso, isto é, peças defeituosas.
Para exatamente 4 peças defeituosas, a probabilidade é:
\(\binom{10}{4}{(\frac{3}{7}})^4(\frac{4}{7})^{6} = 0,24665\).
Na tabela abaixo estão todas as probabilidades para as peças defeituosas, considerando exatamente 0,1,2, . . ..
É claro que para resolver o nosso problema não precisava de tudo isso.
Basta calcularmos \(P(X\geq 1)= 1- P(X = 0) = 1 - 0,00371 = 0,9963\).
3) (Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em:
\(A_1 =\) todos diferentes;
\(A_2 =\) um par;
\(A_3 =\) dois pares;
\(A_4 =\) três iguais;
\(A_5 =\) full (três iguais e dois iguais);
\(A_6 =\) quatro iguais (pôquer);
\(A_7 =\) cinco iguais;
\(A_8 =\) uma sequência.
Calcular as probabilidades de \(A_i\, i = 1, 2, 3, ..., 8\).
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de B dado A é o número \(P(A\cap B) / P(A)\). Representaremos este número pelo símbolo \(P(B/A)\). Temos então simbolicamente
\(P(B/A) = \frac{P(A\cap\, B)}{P(A)}\).
1) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que essa pessoa fala francês, qual é a probabilidade de que seja homem?
Solução
Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos,
\(P(A) = \frac{47 + 52}{360} = \frac{99}{360}\),
\(P(A\cap B) = \frac{47}{360}\),
e portanto
\(P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{47/360}{99/360} = \frac{47}{99}\).
2) Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40% se o cobrador for do Flarnengo e de 70% em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?
Solução
a) A probabilidade deseja é:
P(“cobrador é do Flamengo” e “Pênalti é convertido”) = \(P(F\cap C)\).
Pelo Teorema do Produto:
\(P(F\cap C) = P(F) \cap P(C/F) = 0,8\;\cdot\;0,4 = 0,32.\).
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
Solução
Note que, do enunciado, apenas sabemos as probabilidades condicionais do pênalti ser convertido, dado que o batedor seja do Flamengo ou pertença a um outro clube. Para fazer uso dessas probabilidades condicionais, decompomos o evento C:
“o pênalti é convertido”
na união de dois eventos disjuntos:
“o cobrador é do Flamengo e o pênalti é convertido” e “o cobrador não é do Flamengo e o pênalti é convertido”. Isto é:
\(C = (F\cap C) \;\cup\;(F^C\;\cap\;C)\). Logo
\(P(C) = P(F\cap C) \;+\;P(F^C\;\cap\;C)\).
Cada uma das probabilidade do lado direito pode ser calculada com auxilio do Teorema do Produto.
\(P(F\;\cap C) = P(F)\;\cdot\;P(C/F) = 0,8\;\cdot\;0,4 = 0,32.\)
\(P(F^C\;\cap C) = P(F^C)\;\cdot\;P(C/F^C) = 0,2\;\cdot\;0,7 = 0,14.\) Logo
\(P(C) = 0,32\; +\;0,14 = 0,46.\)
(Teorema da Probabilidade Total)
Se B é um evento contido numa união de eventos disjuntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) e \(P(A_1)>0\) , \(P(A_2)>0\) ,…, \(P(A_n)>0\) , então
\(P(B) = P(A_1)P(B/A_1) + P(A_2)P(B/A_2) + . . .+ P(A_n)P(B/A_n)\).
(Teorema de Bayes)
Nas condições do Teorma da Probabilidade Total, Se \(P(B) > 0\), então, para \(i\), \(i = 1, 2, ..., n\),
\(P(A_i/B) = \frac{P(A_i)\,\cdot P(B/A_i)}{P(A_1)P(B/A_1) + P(A_2)P(B/A_2) + . . .+ P(A_n)P(B/A_n)}\)
1) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Solução
Utilizando o Teorema de Bayes, temos
\(P(choveu\; e\; ganhou) = \frac{P(choveu)P(ganhou\;/\;choveu)}{P(choveu)P(ganhou\;/\;choveu)\, +\,P(não \,choveu)P(ganhou\;/\;não\,choveu) } =\)
2) Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das resposta do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?
Solução
Utilizando o Teorema de Bayes, temos
\(P(adivinhou\;/\;resposta\,correta) = \frac{0,70\;\frac{1}{3}\cdot}{0,70\;\cdot\;\frac{1}{3}\;+\;0,30\;\cdot\;1} = \frac{7}{16}\).
O problema que queremos resolver é o seguinte: Qual é a probabilidade de obtemos k sucessos em n provas?
A probabilidade de nessas n provas obtermos k sucessos e, em consequência, n - k fracassos em uma ordem pré-determinada, por exemplo, os sucessos na k primeiras provas e os fracassos nas demais:
pois as provas são independentes.
Teorema Binomial:
A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em sequência de n provas independentes, na quala probabilidade de sucesso em cada prova é p, é igual a
\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
1) Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?
Solução:
Pondo sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binomial, a rsposta é
\(\binom{10}{5}{(\frac{1}{2}})^k(1-{\frac{1}{2}})^{5} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}\).
2) Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla-escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 4 questões?
Solução:
Pondo sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada prova, e as provas são independentes.
A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questões é
\(p_k = \binom{10}{4}{(\frac{1}{5}})^4(1-{\frac{1}{5}})^{6} = \frac{172 032}{1 953 125}\approx 0,088\).