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Sumário


1 Conjuntos

1.1 Introdução

A noção de conjunto, em Matemática, é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de agrupamento, coleção, classe, etc. Os objetos que constituem determinado conjunto são chamados de elementos do conjunto. Se um elemento é constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao conjunto. Esse fato é indicado pelo símbolo ∈ . Por exemplo, chamando de P o conjunto dos números pares, escrevemos: 2P e 3P.

1.2 Representação

Por enumeração do seus elementos: A={4,5,6,7,8,9,10};

Por uma propriedade que satisfaz todos os elementos do conjunto: A={3x10}.

Através de Diagrams:

1.3 Conjunto vazio.

Chama-se vazio e indica-se por ∅ ou {} o conjunto que não possue elemento algum.

1.4 Igualdade de Conjuntos.

Dois conjuntos, A e B, são iguais quando possuem os mesmos elementos.

1.5 Subconjunto.

Se A e B são dois conjuntos, pode ocorrer que todo elemento de A seja também elemento de B. Quando isso ocorrer, dizemos que A é subconjunto de B ou que A é parte de B ou, ainda, que A está contido em B.

Notação: AB {Lê-se: A está contido em B} ou BA {Lê-se: B contém A}.

Se AB mas existe um elemento bB tal que bA, (b não pertence a A), diremos que A é um subconjunto próprio de B.

Observe que o conjunto vazio é suconjunto de qualquer conjunto A. Com efeito, se isso não fosse verdade, deveria haver um elemento $x∅ $ tal que $ xA$, o que é impossível.

1.6 Operações

1.6.1 União.

Dados dois conjuntos A e B indicaremos por AB O conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é, o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos “A” e “B”. Este conjunto é chamado de união de A com B. Simbolicamente, AB={ωΩ|ωAouωB}.

A parte sombreada da Figura abaixo ilustra o conjunto AB.

A união de três conjuntos A, B e C será representada por ABC.

ABC={ωΩ|ωAouωBouωC}

Mais geralmente, a união de n conjuntos A1,A2,...,An é chamada analogamente e representada por ni=1Ai.

1.6.2 Interseção.

Dados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção de A e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B, ou seja

AB={ωΩ|ωAeωB}

A parte sombreada da figura abaixo ilustra a interseção de A e B.

No caso de termos por exemplo três conjuntos A, B e C, a interseção é representada por ABC:

ABC={ωΩ|ωAeωBeωC}

A interseção de n conjuntos A1,A2,...,An é representada por ni=1Ai.

Dizemos que dois conjuntos A e B são disjuntos se AB=. Quando temos mais de dois conjuntos, dizemos que eles são disjuntos quando forem disjuntos tomados 2 a 2. A figura abaixo ilustra o caso de três conjuntos disjuntos.

1.6.3 Complementar.

Dados um conjunto A. chamaremos conjunto conplementar de A o conjunto dos elementos de Ω que não pertencem a A. Simbolicamente

AC = {ωΩ|ωA}

A parte sombreada da figura abaixo indica o complementar de A.

1.6.4 Diferença.

Dados dois conjuntos A e B. o conjunto

ABC = {ωΩ|ωAeωB} é chamado de diferença de A e B, é representado geralmente por A - B. A parte sombreada da figura abaixo mostra a diferença de A e B.

Se BA, a diferença AB é chamada diferença própria.

1.7 Propriedades Importantes.

O Teorema a seguir lista as propriedades mais importantes que relacionam os conceitos definidos anteriormente.

Teorema 1.

  1. Para todo conjunto AΩ, A=A, A=.
  2. AB se somente se AB=B.
  3. AB se somente se AB=A.
  4. A(BC)=(AB)C.
  5. A(BC)=(AB)C.
  6. A(BC)=(AB)(AC).
  7. A(BC)=(AB)(AC).
  8. AAC=Ω, AAC=, C=Ω, ΩC=.
  9. (AC)C=A;AB se somente BCAC.
  10. (AB)C=ACBC.
  11. (AB)C=ACBC.

1.8 Partição.

Seja A um conjunto finito não vazio. Uma partição de A é uma família de conjuntos A1,A2,...,Ak, todos não vazios, e tais que:

  1. A1A2...Ak=A.
  2. AiAj= se ij.

Ou seja, os conjuntos A1A2...Ak são disjuntos dois-a-dois e sua união é o conjunto A. Dizemos também que A foi particionado pelos conjuntos A1,A2,...,Ak.

2 Probabilidade

2.1 Conceitos Básicos

  • Experimento aleatório é qualquer experimento cujo resultado não se consegue prever.

  • Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

  • Evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral.

  • Espaço de Probabilidade:

Dado o espaço amostral Ω de certo experimento aleatório, uma Probabilidade é uma função que atribui a cada evento EΩ um determinado valor P(A) que satifaz as seguintes condições:

  1. 0PA)1, para todo evento AΩ;

  2. P()=0, P(Ω)=1;

  3. Se A e B são eventos disjuntos (também chamados mutuamente exclusivos) P(AB)=P(A)+P(B).

  • Espaço Amostral Equiprovável é quando as probabilidades dos eventos simples são todas iguais. Se o espaço amostral equiprovável possui n elementos, como a soma das probabilidades dos eventos simples correspondentes é igual a 1. podemos concluir que cada evento simples deve ter probabilidade igual a 1/n.

2.2 Principais Propriedades.

  • P(AC)=1P(A).

  • Se AB então P(A)=P(B)P(BA).

  • P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).

2.2.1 Exemplos e Aplicações.

  1. Sejam A e B eventos tais que P(A)=12,P(B)=14,P(AB)=15.

Calcular:

a) P(AB);

b) P(AC);

c) P(BC);

d) P(ABC);

e) P(ACB);

f) P(ACBC);

g) P(ACBC);

Soluções:

a) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

P(AB)=12+1415=10+5420=1120

b) P(AC)=1P(A)=112=12.

c) P(BC)=1P(B)=114=34.

d) P(ABC)=P(A)P(AB)=1215=5210=310.

e) P(ACB)=P(B)P(AB)=1415=5420=120.

f) P(ACBC)=1P[(AB)C]=11120=201110=920.

g) P(ACBC)=1P[(AB)=115=45.

2) Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.

Solução;

Sejam:

Variável aleatória (X) = Quantidade de peças extraídas= 10;

A variável aleatória (X) pode assumir os valores: 0, 1, 2,.., 10;

Vamos atribuir o valor 0 para o sucesso (Peças defeituosas) e 1 para o sucesso ( peças sem defeitos). Temos que,

P(0) = 1535=37.

P(1) = 2035=47.

P(X=0), significa a probabilidade de termos nenhuma peça com defeito;

P(X=1), significa a probabilidade de termos 1 peça com defeito;

P(X=2), significa a probabilidade de termos 2 peças com defeito;

……………………………………………………………………..;

P(X=10), significa a probabilidade de termos (10) peças com defeito;

A probabilidade para que tenhamos, exatamente, nenhuma, uma, duas,…, dez peças defeituosas é dada pela expressão:

\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, onde p é a probabilidade do fracasso, isto é, peças defeituosas.

Para exatamente 4 peças defeituosas, a probabilidade é:

\binom{10}{4}{(\frac{3}{7}})^4(\frac{4}{7})^{6} = 0,24665.

Na tabela abaixo estão todas as probabilidades para as peças defeituosas, considerando exatamente 0,1,2, . . ..

É claro que para resolver o nosso problema não precisava de tudo isso.

Basta calcularmos P(X\geq 1)= 1- P(X = 0) = 1 - 0,00371 = 0,9963.

3) (Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em:

A_1 = todos diferentes;

A_2 = um par;

A_3 = dois pares;

A_4 = três iguais;

A_5 = full (três iguais e dois iguais);

A_6 = quatro iguais (pôquer);

A_7 = cinco iguais;

A_8 = uma sequência.

Calcular as probabilidades de A_i\, i = 1, 2, 3, ..., 8.

2.3 Probabilidades Condicionais.

Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de B dado A é o número P(A\cap B) / P(A). Representaremos este número pelo símbolo P(B/A). Temos então simbolicamente

P(B/A) = \frac{P(A\cap\, B)}{P(A)}.

2.3.1 Exemplos e Aplicações.

1) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:

Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que essa pessoa fala francês, qual é a probabilidade de que seja homem?

Solução

Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos,

P(A) = \frac{47 + 52}{360} = \frac{99}{360},

P(A\cap B) = \frac{47}{360},

e portanto

P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{47/360}{99/360} = \frac{47}{99}.

2) Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40% se o cobrador for do Flarnengo e de 70% em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:

a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?

Solução

a) A probabilidade deseja é:

P(“cobrador é do Flamengo” e “Pênalti é convertido”) = P(F\cap C).

Pelo Teorema do Produto:

P(F\cap C) = P(F) \cap P(C/F) = 0,8\;\cdot\;0,4 = 0,32..

b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?

Solução

Note que, do enunciado, apenas sabemos as probabilidades condicionais do pênalti ser convertido, dado que o batedor seja do Flamengo ou pertença a um outro clube. Para fazer uso dessas probabilidades condicionais, decompomos o evento C:

“o pênalti é convertido”

na união de dois eventos disjuntos:

“o cobrador é do Flamengo e o pênalti é convertido” e “o cobrador não é do Flamengo e o pênalti é convertido”. Isto é:

C = (F\cap C) \;\cup\;(F^C\;\cap\;C). Logo

P(C) = P(F\cap C) \;+\;P(F^C\;\cap\;C).

Cada uma das probabilidade do lado direito pode ser calculada com auxilio do Teorema do Produto.

P(F\;\cap C) = P(F)\;\cdot\;P(C/F) = 0,8\;\cdot\;0,4 = 0,32.

P(F^C\;\cap C) = P(F^C)\;\cdot\;P(C/F^C) = 0,2\;\cdot\;0,7 = 0,14. Logo

P(C) = 0,32\; +\;0,14 = 0,46.

2.4 Probabilidade de Bayes.

(Teorema da Probabilidade Total)

Se B é um evento contido numa união de eventos disjuntos A_1, A_2, ..., A_n e P(A_1)>0 , P(A_2)>0 ,…, P(A_n)>0 , então

P(B) = P(A_1)P(B/A_1) + P(A_2)P(B/A_2) + . . .+ P(A_n)P(B/A_n).

(Teorema de Bayes)

Nas condições do Teorma da Probabilidade Total, Se P(B) > 0, então, para i, i = 1, 2, ..., n,

P(A_i/B) = \frac{P(A_i)\,\cdot P(B/A_i)}{P(A_1)P(B/A_1) + P(A_2)P(B/A_2) + . . .+ P(A_n)P(B/A_n)}

2.4.1 Exemplos e Aplicações.

1) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?

Solução

Utilizando o Teorema de Bayes, temos

P(choveu\; e\; ganhou) = \frac{P(choveu)P(ganhou\;/\;choveu)}{P(choveu)P(ganhou\;/\;choveu)\, +\,P(não \,choveu)P(ganhou\;/\;não\,choveu) } =

2) Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das resposta do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?

Solução

Utilizando o Teorema de Bayes, temos

P(adivinhou\;/\;resposta\,correta) = \frac{0,70\;\frac{1}{3}\cdot}{0,70\;\cdot\;\frac{1}{3}\;+\;0,30\;\cdot\;1} = \frac{7}{16}.

2.5 A Distribuição Binomial.

O problema que queremos resolver é o seguinte: Qual é a probabilidade de obtemos k sucessos em n provas?

A probabilidade de nessas n provas obtermos k sucessos e, em consequência, n - k fracassos em uma ordem pré-determinada, por exemplo, os sucessos na k primeiras provas e os fracassos nas demais:

pois as provas são independentes.

Teorema Binomial:

A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em sequência de n provas independentes, na quala probabilidade de sucesso em cada prova é p, é igual a

\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

2.5.1 Exemplos e Aplicações.

1) Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?

Solução:

Pondo sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binomial, a rsposta é

\binom{10}{5}{(\frac{1}{2}})^k(1-{\frac{1}{2}})^{5} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}.

2) Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla-escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 4 questões?

Solução:

Pondo sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada prova, e as provas são independentes.

A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questões é

p_k = \binom{10}{4}{(\frac{1}{5}})^4(1-{\frac{1}{5}})^{6} = \frac{172 032}{1 953 125}\approx 0,088.