A noção de conjunto, em Matemática, é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de agrupamento, coleção, classe, etc. Os objetos que constituem determinado conjunto são chamados de elementos do conjunto. Se um elemento é constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao conjunto. Esse fato é indicado pelo símbolo ∈ . Por exemplo, chamando de P o conjunto dos números pares, escrevemos: 2∈P e 3∉P.
Por enumeração do seus elementos: A={4,5,6,7,8,9,10};
Por uma propriedade que satisfaz todos os elementos do conjunto: A={3≤x≤10}.
Através de Diagrams:
Chama-se vazio e indica-se por ∅ ou {} o conjunto que não possue elemento algum.
Dois conjuntos, A e B, são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Se A e B são dois conjuntos, pode ocorrer que todo elemento de A seja também elemento de B. Quando isso ocorrer, dizemos que A é subconjunto de B ou que A é parte de B ou, ainda, que A está contido em B.
Notação: A⊂B {Lê-se: A está contido em B} ou B⊃A {Lê-se: B contém A}.
Se A⊂B mas existe um elemento b∈B tal que b∉A, (b não pertence a A), diremos que A é um subconjunto próprio de B.
Observe que o conjunto vazio é suconjunto de qualquer conjunto A. Com efeito, se isso não fosse verdade, deveria haver um elemento $x∅ $ tal que $ xA$, o que é impossível.
Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A∪B O conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é, o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos “A” e “B”. Este conjunto é chamado de união de A com B. Simbolicamente, A∪B={ω∈Ω|ω∈Aouω∈B}.
A parte sombreada da Figura abaixo ilustra o conjunto A∪B.
A união de três conjuntos A, B e C será representada por A∪B∪C.
A∪B∪C={ω∈Ω|ω∈Aouω∈Bouω∈C}
Mais geralmente, a união de n conjuntos A1,A2,...,An é chamada analogamente e representada por ⋃ni=1Ai.
Dados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção de A e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B, ou seja
A∩B={ω∈Ω|ω∈Aeω∈B}
A parte sombreada da figura abaixo ilustra a interseção de A e B.
No caso de termos por exemplo três conjuntos A, B e C, a interseção é representada por A∩B∩C:
A∩B∩C={ω∈Ω|ω∈Aeω∈Beω∈C}
A interseção de n conjuntos A1,A2,...,An é representada por ⋂ni=1Ai.
Dizemos que dois conjuntos A e B são disjuntos se A∩B=∅. Quando temos mais de dois conjuntos, dizemos que eles são disjuntos quando forem disjuntos tomados 2 a 2. A figura abaixo ilustra o caso de três conjuntos disjuntos.
Dados um conjunto A. chamaremos conjunto conplementar de A o conjunto dos elementos de Ω que não pertencem a A. Simbolicamente
AC = {ω∈Ω|ω∉A}
A parte sombreada da figura abaixo indica o complementar de A.
Dados dois conjuntos A e B. o conjunto
A∩BC = {ω∈Ω|ω∈Aeω∉B} é chamado de diferença de A e B, é representado geralmente por A - B. A parte sombreada da figura abaixo mostra a diferença de A e B.
Se B⊂A, a diferença A−B é chamada diferença própria.
O Teorema a seguir lista as propriedades mais importantes que relacionam os conceitos definidos anteriormente.
Teorema 1.
Seja A um conjunto finito não vazio. Uma partição de A é uma família de conjuntos A1,A2,...,Ak, todos não vazios, e tais que:
Ou seja, os conjuntos A1∪A2∪...∪Ak são disjuntos dois-a-dois e sua união é o conjunto A. Dizemos também que A foi particionado pelos conjuntos A1,A2,...,Ak.
Experimento aleatório é qualquer experimento cujo resultado não se consegue prever.
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral.
Espaço de Probabilidade:
Dado o espaço amostral Ω de certo experimento aleatório, uma Probabilidade é uma função que atribui a cada evento E⊂Ω um determinado valor P(A) que satifaz as seguintes condições:
0≤PA)≤1, para todo evento A⊂Ω;
P(∅)=0, P(Ω)=1;
Se A e B são eventos disjuntos (também chamados mutuamente exclusivos) P(A∪B)=P(A)+P(B).
P(AC)=1−P(A).
Se A⊂B então P(A)=P(B)−P(B−A).
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Calcular:
a) P(A∪B);
b) P(AC);
c) P(BC);
d) P(A∩BC);
e) P(AC∩B);
f) P(AC∩BC);
g) P(AC∪BC);
Soluções:
a) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A∪B)=12+14−15=10+5−420=1120
b) P(AC)=1−P(A)=1−12=12.
c) P(BC)=1−P(B)=1−14=34.
d) P(A∩BC)=P(A)−P(A∩B)=12−15=5−210=310.
e) P(AC∩B)=P(B)−P(A∩B)=14−15=5−420=120.
f) P(AC∩BC)=1−P[(A∪B)C]=1−1120=20−1110=920.
g) P(AC∪BC)=1−P[(A∩B)=1−15=45.
2) Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.
Solução;
Sejam:
Variável aleatória (X) = Quantidade de peças extraídas= 10;
A variável aleatória (X) pode assumir os valores: 0, 1, 2,.., 10;
Vamos atribuir o valor 0 para o sucesso (Peças defeituosas) e 1 para o sucesso ( peças sem defeitos). Temos que,
P(0) = 1535=37.
P(1) = 2035=47.
P(X=0), significa a probabilidade de termos nenhuma peça com defeito;
P(X=1), significa a probabilidade de termos 1 peça com defeito;
P(X=2), significa a probabilidade de termos 2 peças com defeito;
……………………………………………………………………..;
P(X=10), significa a probabilidade de termos (10) peças com defeito;
A probabilidade para que tenhamos, exatamente, nenhuma, uma, duas,…, dez peças defeituosas é dada pela expressão:
\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, onde p é a probabilidade do fracasso, isto é, peças defeituosas.
Para exatamente 4 peças defeituosas, a probabilidade é:
\binom{10}{4}{(\frac{3}{7}})^4(\frac{4}{7})^{6} = 0,24665.
Na tabela abaixo estão todas as probabilidades para as peças defeituosas, considerando exatamente 0,1,2, . . ..
É claro que para resolver o nosso problema não precisava de tudo isso.
Basta calcularmos P(X\geq 1)= 1- P(X = 0) = 1 - 0,00371 = 0,9963.
3) (Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em:
A_1 = todos diferentes;
A_2 = um par;
A_3 = dois pares;
A_4 = três iguais;
A_5 = full (três iguais e dois iguais);
A_6 = quatro iguais (pôquer);
A_7 = cinco iguais;
A_8 = uma sequência.
Calcular as probabilidades de A_i\, i = 1, 2, 3, ..., 8.
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de B dado A é o número P(A\cap B) / P(A). Representaremos este número pelo símbolo P(B/A). Temos então simbolicamente
P(B/A) = \frac{P(A\cap\, B)}{P(A)}.
1) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que essa pessoa fala francês, qual é a probabilidade de que seja homem?
Solução
Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos,
P(A) = \frac{47 + 52}{360} = \frac{99}{360},
P(A\cap B) = \frac{47}{360},
e portanto
P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{47/360}{99/360} = \frac{47}{99}.
2) Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40% se o cobrador for do Flarnengo e de 70% em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?
Solução
a) A probabilidade deseja é:
P(“cobrador é do Flamengo” e “Pênalti é convertido”) = P(F\cap C).
Pelo Teorema do Produto:
P(F\cap C) = P(F) \cap P(C/F) = 0,8\;\cdot\;0,4 = 0,32..
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
Solução
Note que, do enunciado, apenas sabemos as probabilidades condicionais do pênalti ser convertido, dado que o batedor seja do Flamengo ou pertença a um outro clube. Para fazer uso dessas probabilidades condicionais, decompomos o evento C:
“o pênalti é convertido”
na união de dois eventos disjuntos:
“o cobrador é do Flamengo e o pênalti é convertido” e “o cobrador não é do Flamengo e o pênalti é convertido”. Isto é:
C = (F\cap C) \;\cup\;(F^C\;\cap\;C). Logo
P(C) = P(F\cap C) \;+\;P(F^C\;\cap\;C).
Cada uma das probabilidade do lado direito pode ser calculada com auxilio do Teorema do Produto.
P(F\;\cap C) = P(F)\;\cdot\;P(C/F) = 0,8\;\cdot\;0,4 = 0,32.
P(F^C\;\cap C) = P(F^C)\;\cdot\;P(C/F^C) = 0,2\;\cdot\;0,7 = 0,14. Logo
P(C) = 0,32\; +\;0,14 = 0,46.
(Teorema da Probabilidade Total)
Se B é um evento contido numa união de eventos disjuntos A_1, A_2, ..., A_n e P(A_1)>0 , P(A_2)>0 ,…, P(A_n)>0 , então
P(B) = P(A_1)P(B/A_1) + P(A_2)P(B/A_2) + . . .+ P(A_n)P(B/A_n).
(Teorema de Bayes)
Nas condições do Teorma da Probabilidade Total, Se P(B) > 0, então, para i, i = 1, 2, ..., n,
P(A_i/B) = \frac{P(A_i)\,\cdot P(B/A_i)}{P(A_1)P(B/A_1) + P(A_2)P(B/A_2) + . . .+ P(A_n)P(B/A_n)}
1) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Solução
Utilizando o Teorema de Bayes, temos
P(choveu\; e\; ganhou) = \frac{P(choveu)P(ganhou\;/\;choveu)}{P(choveu)P(ganhou\;/\;choveu)\, +\,P(não \,choveu)P(ganhou\;/\;não\,choveu) } =
2) Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das resposta do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?
Solução
Utilizando o Teorema de Bayes, temos
P(adivinhou\;/\;resposta\,correta) = \frac{0,70\;\frac{1}{3}\cdot}{0,70\;\cdot\;\frac{1}{3}\;+\;0,30\;\cdot\;1} = \frac{7}{16}.
O problema que queremos resolver é o seguinte: Qual é a probabilidade de obtemos k sucessos em n provas?
A probabilidade de nessas n provas obtermos k sucessos e, em consequência, n - k fracassos em uma ordem pré-determinada, por exemplo, os sucessos na k primeiras provas e os fracassos nas demais:
pois as provas são independentes.
Teorema Binomial:
A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em sequência de n provas independentes, na quala probabilidade de sucesso em cada prova é p, é igual a
\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
1) Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?
Solução:
Pondo sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binomial, a rsposta é
\binom{10}{5}{(\frac{1}{2}})^k(1-{\frac{1}{2}})^{5} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}.
2) Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla-escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 4 questões?
Solução:
Pondo sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada prova, e as provas são independentes.
A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questões é
p_k = \binom{10}{4}{(\frac{1}{5}})^4(1-{\frac{1}{5}})^{6} = \frac{172 032}{1 953 125}\approx 0,088.